Page sur la résonance électrique

Circuit RL

Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine en série. On dit que la bobine s'oppose transitoirement à l'établissement du courant dans le circuit.
L'équation différentielle qui régit le circuit est la suivante :
U = L (di / dt) + Rt*i

Circuit RL série
Détail
Avec :
U : tension aux bornes du montage, en V
i : l'intensité du courant électrique en A
L : l'inductance de la bobine en H
Rt : résistance totale du circuit en Ω
Régime transitoire
La solution générale, associée à la condition initiale
ibobine (t = 0) = 0, est :
ibobine = U/Rt (1 - e-t / T)
Détail
ibobine : l'intensité du courant électrique traversant le montage, en A
L : l'inductance de la bobine en H
Rt : la résistance totale du circuit en Ω
U : la tension du générateur, en V
t : le temps en s
τ : la constante de temps du circuit, en s
C'est la constante de temps τ qui caractérise la durée du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1% près au bout d'une durée de 5τ.
Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en U = Ri car Ldi / dt = 0.
Régime sinusoïdal permanent
En régime sinusoïdal permanent, le circuit peut être caractérisé par une impédance complexe Z valant Z = Rt + jωL.

Circuit RLC

En électrocinétique, un circuit RLC est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).
Il existe deux types de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois types de composants. Le comportement d'un circuit RLC est généralement décrit par une équation différentielle du second ordre la où des circuits RL ou circuits RC se comportent comme des circuits du premier ordre.
à l'aide d'un générateur de signaux, il est possible d'injecter dans le circuit des oscillations et observer dans certains cas une résonance, caractérisée par une augmentation du courant lorsque le signal d'entrée choisi correspond à la pulsation propre du circuit, calculable à partir de l'équation différentielle qui le régit.
Circuit RLC en série

Circuit soumis à un échelon de tension
Si un circuit RLC série est soumis à un échelon de tension E, la loi des mailles impose la relation :
E = uC + uL + uR = uC + L * (di / dt) + Rti
En introduisant la relation caractéristique du condensateur :
iC = i = C * (duC / dt)
on obtient l'équation différentielle du second ordre :
LC * (d²uc / dt²) + RtC * (duc / dt) + uC = E
Détail
E : la force électromotrice du générateur, en volts
uC : la tension aux bornes du condensateur, en volts
L : l'inductance de la bobine, en henrys
i : l'intensité du courant électrique dans le circuit, en ampères
q : la charge électrique du condensateur, en coulombs
C : la capacité électrique du condensateur, en farads
Rt : la résistance totale du circuit, en ohms
t : le temps en secondes
Dans le cas d'un régime sans pertes, c'est-à-dire pour Rt = 0
on obtient une solution se mettant sous la forme :
uc = E + A cos [ (2πt / T0) + φ]
T0 = 2π√LC
Détail
Avec :
T0 la période d'oscillation, en secondes
A et φ deux constantes à déterminer grâce aux conditions initiales du circuit.
Ce qui nous donne :
ƒ0 = 1 / 2π√LC
Où ƒ est la fréquence propre du circuit, en hertz.
Circuit soumis à une tension sinusoïdale
La transformation complexe appliquée aux différentes tensions permet d'écrire la loi des mailles sous la forme :
UG = UC + UL + UR
soit, en introduisant les impédances complexes
UG = -(j / Cω) I + jLωI + RtI = [ Rt + j(LCω² -1 / Cω)] I
La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par:
ω0 = 1 / √LC
Pour cette fréquence la relation ci-dessus devient :
UG = UR = RtI
et on a :
UL = -UC = j / Rt √(L / C) UG
Circuit RLC en parallèle

Circuit RLC parallèle, dit circuit bouchon
ir = u / R
dil / dt = u / L
ic = dq / dt = C (du / dt)
car q = Cu
i = ir + il + ic
di / dt = C (d²u / dt²) + (1du / Rdt) + u / L
Attention : la branche C est en court-circuit : on ne peut pas brancher A, B directement aux bornes d'un générateur E, il faut lui ajouter une résistance.
Détail
Les deux conditions initiales sont :
il0 garde sa valeur avant la mise sous tension car l'inductance s'oppose à la variation du courant
q0 garde sa valeur avant la mise sous tension u0 = q0 / C
Circuit soumis à une tension sinusoïdale
La transformation complexe appliquée aux différentes intensités donne
I = Ir + Il + Ic
soit, en introduisant les impédances complexes
I = (1 / R) U + (1 / jLω) U + jCωU
soit
I = (1 / R) + j [ Cω - (1 / Lω)] U
La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par :
ω = 1 / √LC
Pour cette fréquence la relation ci-dessus devient
I = Ir = (1 / R) U
et on a
Ic = -Il = j√(C / L) U
Utilisation des circuits RLC
Les circuits RLC sont généralement utilisés pour réaliser des filtres de fréquence, ou des transformateurs d'impédance.
Ainsi, le circuit RLC parallèle est communément appelé circuit bouchon car il réduit à zéro certaines fréquences souvent indésirables pour l'appareil dans lequel il est intégré, permettant par exemple d'éliminer les parasites dans un récepteur.

Circuit RC

Un circuit RC est un circuit électrique, composé d'une résistance et d'un condensateur montés en série ou en parallèle. Dans leur configuration série, les circuits RC permettent de réaliser des filtres électroniques passe-bas ou passe-haut. La constante de temps τ d'un circuit RC est donnée par le produit de la valeur de ces deux éléments qui composent le circuit.
Circuit série

Circuit RC série
Fonctions de transfert
Soit ZC(ω) impédance du condensateur
ZC(ω) = 1 / jCω
La tension aux bornes de la résistance ou du condensateur
peut se calculer en considérant le montage comme un diviseur de tension non chargé
VC(ω) = [ ZC(ω) / ZC(ω) + R] Vin(ω) = [ 1 / 1 + jRCω] Vin(ω)
VR(ω) = [ R / ZC(ω) + R] Vin(ω) = [ jRCω / 1 + jRCω] Vin(ω)
On notera HC la fonction de transfert obtenue en considérant la tension aux bornes du condensateur comme tension de sortie et HR si on utilise celle aux bornes de la résistance. HC et HR s'obtiennent respectivement grâce aux expressions de VC et VR
HC(ω) = VC(ω) / Vin(ω) = 1 / 1 + jRCω
HR(ω) = VR(ω) / Vin(ω) = jRCω / 1 + jRCω
Pour un dipôle, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme H(ω) = Ge, où G est le gain du dipôle et φ sa phase.
Ainsi
HC(ω) = GCejφc
avec
GC = 1 / √[ 1 + (ωRC)²]
et
φC = arctan (-ωRC)
De même pour HR
HR(ω) = GRejφR
avec
GR = ωRC / √[ 1 + (ωRC)²]
et
φR = arctan (1 / ωRC)
Analyse fréquentielle
Une analyse fréquentielle du montage permet de déterminer quelles fréquences le filtre rejette ou accepte. Pour les basses fréquences, HC a un module proche de un et une phase proche de zéro. Plus la fréquence augmente, plus son module diminue pour tendre vers zéro et sa phase de -π / 2. A contrario, HR possède un module proche de zéro aux basses fréquences et une phase proche de π / 2 et lorsque la fréquence augmente, son module tend vers un et sa phase vers zéro.
Quand ω = 0:
GC → 1 et φC → 0
GR → 0 et φR → 90° = π / 2
Quand ω → ∞
GC → 0 et φC → -90° = -π / 2
GR → et φR → 0
Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur le comportement est du type filtre passe-bas : les hautes fréquences sont atténuées et les basses fréquences passent. Si la sortie est prise sur la résistance, l'inverse se produit et le circuit se comporte comme un filtre passe-haut.
La fréquence de coupure ƒc du circuit qui définit la limite à 3 dB
entre les fréquences atténuées et celles qui ne le sont pas est égale à
ƒc = 1 / 2πRC (en Hz)
Analyse temporelle
pour des raisons de simplicité, l'analyse temporelle s'effectuera en utilisant la transformée de Laplace p
en supposant que le circuit est soumis à un échelon de tension d'amplitude V en entrée
Vin = 0 pour t = 0 et Vin = V sinon
Vin (P) = V / p
VC (p) = HC (p) Vin (p) = (1 / 1 + pRC) * V / p
VR (p) = HR (p) Vin (p) = (pRC / 1 + pRC) * V / p
La transformée de Laplace inverse de ces expressions donne
VC (t) = V (1 - e-t/RC)
VR (t) = Ve-t/RC
dans ce cas, le condensateur se charge et la tension à ses bornes tend vers V
tandis que celle aux bornes de la résistance tend vers 0

détermination graphique de τ par l'observation de VC (t)
Le circuit RC possède une constante de temps, généralement notée τ = RC, représentant le temps que prend la tension pour effectuer 63% (1 - e-1) de la variation nécessaire pour passer de sa valeur initiale à sa valeur finale.
Il est également possible de dériver ces expressions des équations différentielles décrivant le circuit
Vin - VC / R = C * (dVC / dt)
VR = Vin - VC
Les solutions sont exactement les mêmes que celles obtenues par la transformée de Laplace.
Intégrateur
à haute fréquence, c'est-à-dire si ω » 1 / RC, le condensateur n'a pas le temps de se charger et la tension à ses bornes reste faible
ainsi
VR ≈ Vin
et l'intensité dans le circuit vaut donc
I ≈ Vin / R
Comme
VC = 1 / C ∫0t Idt
on obtient
VC ≈ 1 / RC ∫0t Vindt
La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage intégrateur, c'est-à-dire comme un filtre passe-bas.
Dérivateur
à basse fréquence, c'est-à-dire si
ω « 1 / RC
le condensateur a le temps de se charger quasiment complètement
Alors
I ≈ Vin / (1 / jωC)
Vin ≈ 1 / jωC ≈ VC
Maintenant
VR = IR = C * (dVC / dt) * R
VR ≈ RC * (dVin / dt)
La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage dérivateur, c'est-à-dire comme un filtre passe-haut.
Intensité
L'intensité du courant est la même dans tout le circuit
puisqu'il s'agit d'un circuit série
I (ω) = Vin (ω) / R + ZC = jCω / 1 + jRCω * Vin (ω)
Réponse impulsionnelle
La réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert correspondante et représente la réponse du circuit à une impulsion.
Pour le condensateur
hC (t) = 1 / RC * e-t / RC u (t) = 1 / τ * e-t / τ u (t)
où u (t) est la fonction de Heaviside et τ = RC est la constante de temps.
pour la résistance
hR (t) = - 1 / RC * e-t / RC u (t) = -1 / τ * e-t / τ u (t)
Circuit parallèle
Le circuit RC parallèle est généralement d'un intérêt moindre que le circuit RC série : la tension de sortie étant égale à la tension d'entrée, il ne peut être utilisé comme filtre qu'alimenté par une source de courant.
Les intensités dans les deux dipôles sont
IR = Vin / R
IC = jωCVin
Le courant dans le condensateur est déphasé de 90° par rapport au courant d'entrée et de la résistance.
Soumis à un échelon de tension, le condensateur se charge rapidement et peut être considéré comme un circuit ouvert, le circuit se comportant dès lors comme une simple résistance.

Circuit LC

Un circuit LC est un circuit électrique contenant une bobine (L) et un condensateur. C'est ainsi qu'on obtient le phénomène de résonance électrique.
Ce type de circuit est utilisé dans les filtres, les tuners et les mélangeurs de fréquences. Par conséquent, son utilisation est répandue dans les transmissions sans fil en radiodiffusion, autant pour l'émission que la réception.
Circuit LC série et parallèle

Résonance électrique
Fonctionnement
Le phénomène de résonance électrique se produit dans un circuit électrique à une fréquence de résonance donnée où les parties imaginaires des impédance et admittance des éléments de circuit s'annulent. Dans certains circuits, la résonance électrique a lieu lorsque l'impédance entre l'entrée et la sortie du circuit est près de zéro et la fonction de transfert est près de l'unité. Les circuits résonants comportent des retentissements et peuvent générer de plus hauts voltages et courants que ceux qu'ils reçoivent, ce qui les rend utiles pour la transmission sans fil.
Dans un circuit composé de condensateurs et de bobines, le champ magnétique dans une bobine induit un courant électrique dans les enroulements de cette bobine pour charger un condensateur. Lorsqu'il se décharge, le condensateur produit un courant électrique qui renforce le champ magnétique dans la bobine. Ce processus est répété continuellement, de façon comparable au processus de balancement d'un pendule mécanique. Dans certains cas, la résonance a lieu lorsque les réactances de bobine et de condensateur sont de magnitudes égales, de sorte que l'énergie électrique oscille entre le champ magnétique de la bobine et le champ électrique du condensateur.
Fréquence de résonance
La pulsation propre ou de résonance d'un circuit LC est
ω0 = √ 1 / LC
Ce qui nous donne la fréquence propre
ou de résonance d'un circuit LC en hertz
ƒ0 = ω0 / 2π = 1 / 2π√LC
Impédance

Un circuit LC série
l'impédance d'un circuit série est donnée par
la somme des impédances de chacun de ses constituants
Z = ZL + ZC
Avec
ZL = jωL
l'impédance de la bobine et
ZC = 1 / jωC
l'impédance du condensateur
Z = jωL + 1 / jωC
ce qui nous donne une fois réduit au même dénominateur
Z = (ω²LC - 1)j / ωC
on remarquera que l'impédance est nulle à la pulsation de résonance
ω0 = √1 / LC
Le circuit se comporte donc comme un filtre passe-bande ou comme un filtre coupe-bande, selon comment il est disposé dans le réseau considéré.
Un circuit LC parallèle

l'impédance du circuit est donnée par la formule
Z = ZLZC / ZL + ZC
Après substitution de ZL et ZC
par leurs formules littérales, on obtient
Z = L / C / (ω²LC - 1)i / ωC
Qui se simplifie en
Z = -Lωi / ω²LC - 1
Le circuit LC parallèle présente donc une impédance infinie à la fréquence de résonance. Selon la façon dont on le dispose dans un réseau, il pourra agir comme un filtre passe bande ou comme un filtre coupe bande.
Sélectivité

Bande passante à -3dB
Les circuits LC sont souvent utilisés comme filtres. Si un circuit LC est utilisé comme filtre passe bande, on définit généralement sa bande passante à -3dB autour de sa fréquence de résonance. On aura alors le coefficient de surtension Q égal au rapport entre la fréquence de résonance et la bande passante.Q = ƒ0 / BP
Plus le coefficient de surtension est élevé, plus le circuit est sélectif.
Un Q élevé correspond à une résistance série Rs faible, ou à une résistance parallèle Rp grande.
On peut calculer Q en fonction des résistances
Q = Z / Rs = Rp / Z
où Z est le module des impédances de la bobine ou du condensateur.

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