Page sur les réluctances

Réluctances

La réluctance permet de quantifier une propriété physique, l'aptitude d'un circuit magnétique à s'opposer à sa pénétration par un champ magnétique.
Cette grandeur a été créée par analogie avec la notion de résistance.
L'inverse de la réluctance est appelée perméance magnétique, mais ce terme et cette notion sont assez peu utilisés.
Analogie d'Hopkinson
Principes
Cette analogie consiste à faire un parallèle entre les circuits électriques et les circuits magnétiques.
Circuits électriques Circuits magnétiques
Intensité du courant électrique I Flux du champ magnétique dans le circuit φ
Résistance R Réluctance ℜ
Conductivité σ Perméabilité magnétique µ
Force électromotrice E Force magnétomotrice F ou ∑ nI
Loi d'ohm E = R * I Loi d'Hopkinson F = ℜ * σ
où µ = µ0µr où µr étant la perméabilité relative.
Remarque : saturation
Cette analogie peut permettre de prévoir le comportement d'un circuit, soit en statique, soit en alternatif, dans le cas bien précis de la linéarité perméabilité constante, soit totale linéarité entre champ et induction magnétique. Dans les cas où ces conditions ne sont pas totalement remplies, il peut être possible d'étendre la notion de réluctance.
En effet, la valeur de perméabilité est susceptible de varier en fonction de divers paramètres du problème considéré, même dans un cas simple.
La variation de la valeur de perméabilité peut trouver son origine dans la saturation pour les forts champs magnétiques, ce qui correspond à la saturation des courbes d'hystérésis B-H.
En statique, cet effet de saturation peut être pris en compte par introduction de zones ayant une perméabilité plus faible aux endroits où se produit la saturation. Cependant, en signal alternatif, la saturation n'a lieu que pour certaines fractions du cycle. La notion de réluctance devient alors difficile à manipuler.
Par ailleurs, la perméabilité est susceptible de varier aux hautes fréquences. La variation de perméabilité en fonction de la fréquence dépend des matériaux et de leurs géométries lamination des matériaux magnétiques conducteurs par des isolants afin de minimiser les courants de Foucault.
Détermination de la réluctance d'un circuit magnétique homogène
Cas général
Pour un circuit magnétique homogène, c'est-à-dire constitué d'un seul matériau et de section homogène, il existe une relation permettant de calculer sa réluctance en fonction du matériau qui le constitue et de ses dimensions :
Détail
ℜ = 1 / µ * l / s en H-1
µ étant la perméabilité magnétique en kg·m.A-2·s-2
l la longueur en mètres
s la section en m2
Réluctance équivalente d'un entrefer
Détail
La réluctance d'un entrefer de faible épaisseur est donnée par
ℜ = e / µ0 * S
Avec
e : épaisseur de l'entrefer
µ0 : perméabilité du vide
S : section de l'entrefer.
Si l'épaisseur de l'entrefer est grande, il n'est plus possible de considérer que les lignes de champ magnétique restent perpendiculaires à l'entrefer. On doit alors tenir compte de l'épanouissement du champ magnétique c'est-à-dire considérer que la section S est plus grande que celle des pièces métalliques de part et d'autre de l'entrefer.
Réluctance d'un circuit magnétique de forme complexe
Principe du calcul
Les lois d'association des réluctances permettent de calculer celle d'un circuit magnétique de forme complexe ou composé de matériaux aux caractéristiques magnétiques différentes. On décompose ce circuit en tronçons homogènes, c'est-à-dire de même section et constitués du même matériau.
Association en série :
Lorsque deux tronçons homogènes ayant respectivement pour réluctance ℜ1 et ℜ2 se succèdent, la réluctance de l'ensemble est ℜeq.serie = ℜ1 + ℜ2
Association en parallèle : Lorsque deux tronçons homogènes ayant respectivement pour réluctance ℜ1 et ℜ2 sont placés côte à côte, la réluctance de l'ensemble est ℜ// telle que 1 / ℜeq.// = 1 / ℜ1 + 1 / ℜ2, soit encore ℜeq.// = ℜ1 * ℜ2 / ℜ1 + ℜ2
A l'aide de ces lois on peut calculer la réluctance du circuit magnétique complexe dans son intégralité
Exemple
Les circuits magnétiques de la même forme que celui représenté ci-contre sont fréquemment utilisés pour réaliser des transformateurs d'alimentation à découpage. Le bobinage est réalisé dans la fenêtre et entoure le noyau central. Pour calculer sa réluctance, on commence par considérer qu'il est constitué de deux circuits magnétiques de forme simple accolés l'un contre l'autre, donc en parallèle. On peut alors écrire :
ℜ = ℜ' * ℜ' / 2ℜ' = ℜ' / 2
Le circuit magnétique de réluctance ℜ' est lui-même constitué de l'association en série de deux tronçons homogènes : la partie en matériau ferromagnétique et l'entrefer. On a donc : ℜ' = ℜfer + ℜe
La réluctance ℜ recherchée est donc égale à : ℜ = 1 / 2S * (e / µ0 + 1fer / µfer
Fréquemment, le terme e / µ0 est très grand devant le terme 1fer / µfer. La réluctance du circuit est alors pratiquement égale à la réluctance de l'entrefer.
Représentation d'un aimant permanent
En toute rigueur, un aimant permanent est un élément fortement non linéaire, interdisant l'utilisation du modèle de réluctance. Il est cependant possible de l'étendre en introduisant un circuit inducteur, sous réserve de la connaissance de la courbe d'hystérésis de l'aimant dans la direction considérée et de l'appréciation de l'excursion de champ considérée invalide si l'excursion se rapproche du champ coercitif.
Un aimant de longueur l, de section S, de pente de droite de recul µ et d'induction rémanente B se représente par :
Détail
un matériau de réluctance ℜ = : / µ * S
un circuit inducteur N * i = l * B / µ
Réluctance diélectrique
C'est l'inverse de la grandeur logique d'étude des phénomènes électriques et qui est nommée perméance diélectrique spatiale
Equation de dimensions de la réluctace diélectrique : L-4 * M-1 * T4 * I2
Détail
Symbole de grandeur : R
Unité S.I. + : F / m²
R = C / S
R = σ' x t
R = b' * ω / S
R = g* / I
R (F / m²-sr) = réluctance diélectrique
C (F) = capacité
b'(F / sr) = permittance
σ'(S / m) = conductivité électrique
ω (sr) = angle solide
g*(F-m²) = polarisabilité
î(m4) = moment d'inertie
Réluctance diélectrique spécifique
Détail
C'est la réluctance diélectrique rapportée à l'angle solide
Equation de dimensions : L-4 * M-1 * T4 * I2 * A-1
Symbole de grandeur : r'
Unité S.I. + : F / m²-sr
Relation entre réluctance spécifique et perméance diélectriques
r' = 1 / e'
r' = R / ω
r'(F / m²-sr) = réluctance diélectrique spécifique
e'(m²-sr / F) = perméance diélectrique correspondante
Réluctance magnétique
Détail
Equation de dimensions de la réluctance magnétique : L-2 * M-1 * T2 * I2
Symbole : W*
Unité S.I. + : H-1
W * = ω * H / T
ω(sr) = angle solide dans lequel s'exerce l'effet magnétique
T(Wb / m) = potentiel d'induction magnétique avec un champ d'excitation H(mOe)
Réluctance magnétique spécifique
Détail
C'est la réluctance magnétique rapportée à l'angle solide
Cette grandeur est l'inverse de la grandeur logique d'étude de ces phénomènes et qui est nommée perméance magnétique (Λ)
Equation de dimensions : L-2 * M-1 * T2 * I2 * A-1
Symbole grandeur : w *
Unité S.I + = H-1 sr-1
w * = H / T
w * = i.dl / µ * S
w * = I' / Φ (formule d'Hopkinson)
w * (H-1 sr-1) = réluctance magnétique spécifique d'un tube d'induction de polarisation permanente négligeable
T (Wb / m) = potentiel d'induction magnétique créant un champ d'excitation H (mOe)
µ (H-sr / m) = perméabilité magnétique
dl(m) = élément de circuit, S(m²) la section et i(A) l'intensité
I (A / sr) = force magnétomotrice ou différence de potentiel d'excitation magnétique
Φ (Wb) = flux d'induction magnétique
Détail
réluctance magnétique spécifique pour noyau d'une bobine
w * = n * i / Φ * ω
w *(H-1 * sr-1)= réluctance magnétique spécifique d'un noyau d'une bobine de n spires parcourues par un courant i(A)
ΦWb = flux d'induction magnétique à travers le noyau
ω(sr)= angle solide dans lequel s'exerce l'effet magnétique
réluctance pour un transformateur, la formule ci-dessus devient
w * = [n1 * i1 + n2 * i2 ] / Φ * ω
n1 et nn = nombres de spires des 2 enroulements où les intensités sont i1, i2(A)
La partie de flux de la 1° bobine traversant la seconde est nommée flux utile et la partie de flux perdue se dénomme flux parasite
Relation entre réluctance et inductance
Une formule relie l'inductance d'un enroulement réalisé autour d'un circuit magnétique, la réluctance de ce circuit magnétique et le nombre de spires de l'enroulement :
Détail
L = N² / ℜ
L : inductance de l'enroulement en H
N : nombre de spires de l'enroulement, sans unité

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