Page sur l'abaque de smith et de roth

Abaque de smith

Définition
L'abaque de Smith est un diagramme qui permet, entre autres, de : représenter la variation d'impédance d'un dipôle (antenne, filtre...) en fonction de la fréquence calculer l'impédance d'un réseau (boîte de couplage, filtre) formé d'éléments réactifs dimensionner un circuit d'adaptation d'impédancecalculer l'impédance d'une charge vue au travers d'une ligne Toute impédance de la forme Z = R ± jX peut être représentée par un point sur le diagramme. La résistance R peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et l'infini et la réactance X peut être comprise entre - l'infini et + l'infini.
Description
Habituellement l'abaque de Smith se présente sous la forme d'un graphe circulaire et d'un ensemble d'échelles (repère H). Il n'est pas nécessaire d'en connaître tous les détails pour pouvoir en comprendre le fonctionnement de base.Au premier coup d'oeil on distingue :A : aire des réactances inductives (moitié supérieure du cercle)B : aire des réactances capacitives (moitié inférieure du cercle)C : axe des réactances nulles (ou résistances pures)D : origine de l'axe C, résistance nulle E : centre du cercle correspondant à l'impédance Z=1+j0F : extrémité de l'axe C, résistance (et réactances) infiniesG : échelle des angles de déphasage et longueurs de lignesH : ensemble d'échelles facilitant les calculs de pertes, ROS...Le positionnement d'une impédance Z se fait au travers de ses deux composantes R et X.
Les valeurs des réactances X et des résistances R sont repérables à l'aide de deux familles de cercles : cercles des résistancescercles des réactances D'autres cercles sont utilisés : cercles des ROS constantscercles de stabilitécercles des facteurs de bruits cercles des facteurs Q constants...La plupart des notions permettant d'expliquer le fonctionnement des lignes peuvent être comprises grâce à l'abaque de Smith.
Cercles des résistances constantes
En observant la reproduction ci-dessus on remarque un ensemble de cercles tangents au point F : ce sont les cercles de résistance constante. Tous les points rouge sur la figure correspondent à des impédances complexes dont la composante résistive est égale à 0,3.Le cercle des résistances nulles est également l'axe des réactances. Il constitue la limite de l'abaque, son centre est le point de l'impédance de référence ; par exemple : Z=50+j0Le segment DF est l'axe des résistances. Le point D correspond à une impédance nulle : Z=0+j0 (par exemple un court-circuit)Le point F représente une impédance dont la composante résistive a une valeur infinie (par exemple une ligne ouverte).
Cercles des réactances constantes
Le deuxième ensemble de cercles est celui des réactances. Les centres de chacun de ces cercles sont situés sur une droite tangente en F au cercle des résistances nulles (en gris sur la figure) qui est aussi l'axe des réactances.Tous les points situés sur un même cercle correspondent à des impédances dont la partie réactive a la même valeur.
Par exemple, tous les points bleus ont la même réactance -j0,4.Les cercles des réactances inductives (en rouge sur la figure) sont situés au dessus de l'axe des résistances, les cercles des réactances capacitives (en bleu sur la figure) sont situés au dessous de l'axe des résistances.Le cercle des réactances nulles (en noir sur la figure) a un rayon infini, c'est aussi l'axe des résistances.
Positionnement d'un point, normalisation
Dans les problèmes faisant intervenir une ligne, l'impédance caractéristique de la ligne sert de valeur de référence pour les calculs, c'est elle qui est représentée par le point central de l'abaque.Il existe des abaques sur papier avec la référence 50 ohms mais, comme il n'est pas possible d'imprimer des abaques pour toutes les valeurs d'impédance de ligne (75, 300, 400, 600...) on se sert d'un diagramme universel et pour pouvoir traiter tous les cas quelque soit la valeur de l'impédance caractéristique Zo de la ligne, il existe un support papier normalisé dont la référence centrale est Z=1,0+j0.
Ce principe a aussi d'autres avantages : affichage direct de la valeur du ROS, par exemple. Si Zo = 50 ohms, il suffit de diviser par 50 chacun des termes de l'impédance complexe. Le résultat est alors un nombre complexe sans unité.Exemple 1 : Soit l'impédance Z=15+j20 ohms. En divisant par 50 ohms chaque terme de Z on "normalise" Z et on obtient 0,3+j0,4 encore appelée "impédance réduite". Ce point est à l'intersection du cercle des résistances égales à 0,3 et du cercle des réactances égales à +0,4Pour retrouver l'impédance en ohms il suffit de multiplier chaque terme par l'impédance de référence.
Exemple 2 : Le point 1,4-j 1,2 représente l'impédance Z = 1,4x50-j1,2x50 = 70-j60L'abaque de Smith permet l'utilisation très facile des admittances, on "normalise" dont aussi les admittances par rapport à Yo, l'admittance correspondant à l'impédance Zo.
Cercles des ROS constants
L'ensemble des cercles de ROS constant est centré sur le point correspondant à Zo.Le cercle de ROS infini correspondant à celui des résistances nulles et constitue la limite de l'abaque. Le cercle de ROS=1 est le centre de l'abaque et correspond au point d'impédance 1+j0, l'impédance de référence. Tous les points situés sur un même cercle de ROS ont un ROS identique et réciproquement, deux impédances différentes qui provoquent le même ROS sont situées sur le même cercle de ROS.
Les cercles de ROS
Ils ne sont pas représentés sur les abaques papier pour ne pas surcharger car il est facile de les tracer ensuite avec un compas si nécessaire.Le centre des cercles de ROS est celui de l'abaque, le cercle de ROS infini correspondant à celui des résistances nulles et constitue la limite de l'abaque.
Tous les cercles de ROS sont concentriques, ce qui est une exception dans l'abaque de Smith.Le cercle de ROS = 1 est le centre de l'abaque et correspond au point d'impédance 1 + j0, l'impédance de référence. Dans un circuit utilisant une ligne, c'est le cas d'une charge parfaitement adaptée à l'impédance caractéristique de celle-ci, lorsque la totalité de l'énergie transmise est absorbée par la charge.
Tous les points situés sur un même cercle de ROS ont un ROS identique et réciproquement, deux impédances différentes qui provoquent le même ROS sont situées sur le même cercle de ROS.
Traçage d'un cercle de ROS
Avec une feuille normalisée (impédance du point central = 1 + j0), le rayon du cercle de ROS est facile à mesurer sur la feuille car c'est aussi la distance entre le point central et la graduation sur l'axe des résistances. On peut aussi se référer à l'échelle radiale placée en bas de feuille.Dans un circuit utilisant une ligne sans pertes, le cercle de ROS est aussi utilisé pour le calcul des impédances en tenant compte de la ligne en tant que composant (voir mesure sur les lignes avec l'abaque de Smith.
Bande passante d'une antenne
La figure ci-contre représente la variation de l'impédance mesurée au bas d'une ligne coaxiale (75 ohms) alimentant un dipôle demi-onde pour la bande 40 mètres. La mesure a été effectuée avec un impédancemètre d'antenne entre 6,4 et 7,5 MHz.
La bande amateur des 40 mètres a été soulignée par un segment de couleur magenta.Après traçage point par point, deux cercles de ROS ont été ajoutés. Ils permettent en un coup d'oeil de voir comment l'antenne va fonctionner sur le plan du ROS. On remarque : l'antenne est trop longue, sa fréquence de résonance est 6,92 MHz.
la résonance, l'impédance de l'antenne est égale à l'impédance caractéristique de la ligne coaxiale. Le ROS est de 1 pour cette fréquence.Le ROS variera de 1,2 à 1,6 à l'intérieur de la bande 40 m.Pour connaître le ROS à 6,4 MHz il suffit de mesurer avec un triple-décimètre la distance entre le point 6,4MHz et le centre de la feuille et de reporter cette mesure sur l'échelle placée en bas de la feuille.
L'échelle radiale située en dessous de l'abaque de Smith circulaire, elle constitue un abaque en elle-même qui permet de trouver sans calcul plusieurs paramètres se déduisant les uns des autres. Elle a la même échelle que le rayon de l'abaque de Smith ce qui permet de passer de l'un à l'autre à l'aide d'un compas ou d'un triple-décimètre en reportant les longueurs sur le papier.
Définition des différentes échelles
Dans une ligne sans perte, le ROS est constant quelque soit l'endroit de la mesure. Si la ligne n'est pas parfaite, l'amplitude de l'onde réfléchie diminue à mesure que l'on s'éloigne de la charge puisqu'une partie de l'énergie qu'elle transporte est dissipée à cause des pertes dans la lignes. Le phénomène est le même pour l'onde directe dont l'amplitude augmente quand on se rapproche du générateur.
Ainsi le coefficient de réflexion et le ROS sont ils plus grands près de la charge que vers le générateur. Le ROS mesuré sur la ligne entre Za (impédance de la charge, une antenne, par exemple) et Ze (impédance du générateur, l'émetteur par exemple) décrit une spirale et nom pluis un cercle.Connaissant la longueur de la ligne et la perte qu'elle occasionne, on peut retrouver par détermination graphique l'impédance de la charge en mesurant l'impédance à l'autre extrémité de la ligne
Le ROS et les antennes
Le rapport d'ondes stationnaires (ROS) est un indicateur du bon fonctionnement du système d'alimentation d'une antenne.
Il n'exprime pas les qualités de l'antenne proprement dite mais le fait que celleci peut être raccordée à un émetteur sans risque pour ce dernier. Un rapport d'ondes stationnaires élevé a plusieurs inconvénients : surtension au niveau de l'émetteur avec risque de destruction de l'amplificateur de puissance, amorçages dans les CV... mauvais rendement de l'alimentation de l'antenne, l'émetteur ne pouvant débiter toute sa puissance.
Les transceivers récents possèdent en outre pour la plupart un dispositif qui limite automatiquement la puissance d'émission en cas de ROS élevé, un émetteur de 100 watts peut être limité à quelques watts. le radioamateur étant un expérimentateur soucieux de l'optimisation de sa station, il est tenté de considérer comme un échec un chiffre élevé pour le ROS de son antenne, son but est d'obtenir une valeur proche de 1 (1/1 ou 1 sur 1 comme il est courant de dire). La mesure du ROS est donc pour lui une occasion de déceler un problème à résoudre et lui fournit par conséquent matière à réflexion
Onde directe, onde réfléchie, onde stationnaire
Supposons une ligne d'impédance caractéristique Zc = 50 ohms alimentant une charge constituée d'une résistance pure de 25 ohms. Si la ligne est alimentée par un émetteur de 100 watts, une partie de l'onde directe véhiculant cette puissance sera réfléchie, l'autre partie étant absorbée par la charge. L'onde directe correspond à une tension Ud et à une intensité Id qui dépendent de la puissance fournie par l'émetteur et de l'impédance de la ligne.
De même pour l'onde réfléchie : tension Ur et intensité Ir Pour faciliter la compréhension du phénomène il arrive que l'on parle de puissance directe Pd et puissance réfléchie Pr. La puissance réfléchie serait celle fournie par la charge, ce qui est inhabituel
Ces puissances fictives peuvent être mesurées avec un wattmètre directionnel.Onde directe et onde réfléchie se combinent et forment une onde stationnaire dont l'amplitude varie tout au long de la ligne, passant par des maxima (ventres) et des minima (noeuds) d'intensité et de tension :Umax : maximum de tension (ventre de tension)Umin : minimum de tension (noeud de tension) Imax : maximum d'intensité (ventre de intensité)Imin : minimum d'intensité (noeud de intensité)
Mise en évidence des ondes stationnaires
Une expérience simple permet de mettre en évidence les ondes stationnaires présentes sur une ligne. Une ligne de Lecher est alimentée à une extrémité par un générateur à fréquence variable et chargée à son autre extrémité par une résistance non réactive de puissance suffisante et de valeur réglable. En faisant varier la résistance de la charge on peut mesurer les variations de l'amplitude mini Umin et maxi Umax de la tension entre les fils de la ligne.Lorsque l'impédance Z de la charge est égale à l'impédance caractéristique de la ligne (ici 220 ohms) Umax=Umin et le ROS est égal à 1.
Coefficient de réflexion
Le coefficient de réflexion r est un rapport qui se calcule à partir des tensions ou des courants de l'onde directe et de l'onde réfléchie : ρ = Ur / Ud = Ir / Id
Et si l'on considère les notions de puissance de l'onde directe et de l'onde réfléchie : ρ = √ Pr / Pd
On peut le calculer à partir de l'impédance complexe de la charge qui, dans le cas d'une antenne, est la plupart du temps réactive.
L'impédance caractéristique de la ligne étant normalement résistive, on peut écrire Zc=Rc (50, 75, 300 ohms...) ρ = √ [(Ra - Rc)² + (Xa)²] / [(Ra + Rc)² + (Xa)²]
Le coefficient de réflexion est un vecteur (désigné généralement par la lettre G dont on vient de voir le module r. Son argument est l'angle de déphasage q entre l'onde réfléchie et l'onde directe, il varie cycliquement tout au long de la ligne, il est positif pour les points de la ligne où les réactances sont inductives et négatif là où la réactance est capacitive.
Calcul du ROS
Par définition le ROS est le rapport entre le maximum et le minimum de tension relevés sur la ligne au niveau d'un ventre de tension( idem pour les courants Imax et Imin).ROS = Umax / Umin = Imax / Imin
On peut aussi l'exprimer à partir du coefficient de réflexion : ROS = 1 + ρ / 1 - ρ
Si la ligne est chargée par une résistance pure : ROS = R / Zc ou bien ROS = Zc / R
Selon que l'impédance caractéristique Zc est plus grand ou plus petit que R, de façon à ce que le ROS soit exprimé par un nombre supérieur à 1.Il existe plusieurs types de ROS mètre adaptés à chaque utilisation.
Perte de puissance à cause du ROS
Le rapport de la puissance absorbée par la charge à la puissance directe fournie par l'émetteur peut être déterminé à l'aide de la formule suivante : Pa / Pd = 1 - ρ²
La courbe ci contre montre que la baisse de puissance est insignifiante tant que le ROS ne dépasse pas 2 et reste acceptable pour un ROS de 3. La baisse de signal en dB par rapport à la pleine puissance est à peine visible chez le correspondant : ROS=1,5 : puissance non absorbée=4 % (0,2dB) ROS = 2 : puissance non absorbée=11 % (0,5dB) ROS=3 : puissance non absorbée=25 % (1,2dB)Sur décamétriques ou lorsque la liaison est confortable, perdre 1dB n'est pas un souci.
Par contre, lorsque l'on chasse le décibel comme en trafic EME (par réflexion sur la Lune), un ROS de 2 est déjà inacceptable.Cette perte de puissance, que l'on doit distinguer de la perte d'énergie due au courant plus élevé correspondant à l'onde réfléchie, peut être exprimée en décibels. On la désigne sous l'abréviation RL : Rl = 20 * log (ρ)
Pertes dans la ligne
La présence d'ondes stationnaires implique des courants plus forts dans la ligne donc des pertes plus élevées dans le câble que lorsque le courant direct est seul présent. Ces pertes ne sont visibles que pour des grandes longueurs de câble et à des fréquences élevées, lorsque le ROS dépasse 2.
Amélioration du ROS
On a vu que l'utilisation d'une ligne de mauvaise qualité améliorait le chiffre mesuré du ROS. Ce n'est évidemment pas une solution. Le plus simple est d'adapter l'impédance de la charge et l'impédance spécifique de la ligne, soit en remplaçant la ligne, soit en agissant au niveau de l'antenne.
Le TOS ou taux d'Ondes Stationnaires
En tant que taux, le TOS s'exprime en %. Lorsque le ROS est égal à 1, le taux d'ondes stationnaires est égal à 0 %. Un TOS de 100 % correspond à un ROS infini. On obtient le TOS en multipliant par 100 le coefficient de réflexion

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